INTEGRAL

INTEGRAL merupakan kebalikan dari differensial (anti differensial).
Jika turunan dari F(x) adalah f(x), maka :

ò f(x) dx = F(x) + c Þ (c = konstanta)

Integral dapat digolongkan atas :

A. Integral tak tentu (Tanpa batas)
B. Integral tertentu (Dengan batas)

Integral Tak Tentu

1. RUMUS

FUNGSI ALJABAR
ò xn dx = 1/n+1 xn+1 + c ; n ¹ -1

FUNGSI TRIGONOMETRI
ò sin x dx = - cos x + c
ò cos x dx = sin x + c

sifat-sifat:
a. òc f(x) dx = cò² f(x) dx
b. ò( f(x) ± g(x) ) dx = ò f(x) dx ± ò g(x) dx
c. jika òf(x) dx = F(x) + c
maka ò f(ax) dx = 1/a F(ax) + c
ò f(ax+b) dx = 1/a F(ax+b) + c

Perluasan :
ò(ax + b)n dx = 1/a 1/(n+1) (ax + b)n+1 + c
òsin (ax + b) dx = -1/a cos (ax + b) + c
ò cos (ax + b) dx = 1/a sin (ax + b) + c

CARA MENGINTEGRIR

a. SUBSTITUSI

I = ò f(x) dx
substitusi : x = Q(u) ; dx = Q`(u) du
I = òf(Q(u)) Q`(u) du
jika ruas kanan telah diintegrir, subtitusi kembali dengan fungsi invers dari x = Q(u)
(ket : Prinsipnya adalah merubah variabel sehingga rumus dapat digunakan)

b. SUBSTITUSI TRIGONOMETRI

1. Bentuk ò a2 - x2
misalkan x = a sin q ® q = arc sin x/a
dx = a cos q dq


ò – a2 - x2 dx = a ò – 1 - sin2q (a cos q dq)
= a2 òcos2q dq
= ½a2 ò (1 + cos2q) dq
= ½a2 (q + sinq cosq) + c

= ½a2 ò [arc sin x + x –a2 - x2 ] + c
a a a

òÖ a2 - x2 dx = ½ a2 arc sin x/a + ½ x – a2 - x2 + c


2. Bentuk òa2 + b2x2
Gunakan substitusi : x = a/b tgq
dx = a/b sec2q dq

3. Bentuk ò –b2x2 - a2
Gunakan substitusi : x = a/b secq
dx = a/b tgq sec2q


c. PARSIIL

Yaitu mengenai integral dari suatu bentuk yang merupakan hasil perkalian antara suatu fungsi x dengan turunan dari suatu fungsi x yang lain.

I = ò f(x) g(x) dx
Misalkan : u = f(x) ; dv = g(x) dx
du = ..... dx ; v = ò g(x) dx = ..... maka :

ò u du = u v - òv du

Pemisalan dibuat sedemikian sehingga bentuk ò v du jadi lebih mudah
Untuk hal-hal khusus dapat digunakan cara TABULASI

Integral Tertentu

1. Pengertian

Bila suatu fungsi F(x) mempunyai turunan f(x), maka bila f(x) diintegrasikan pada selang (a, b) menjadi
a a
ò c dx = c(x) ï= F(b) - F(a)
b b

2. Sifat

b b
a. ò c dx = c(x) ï = c(b - c) c = konstanta
a a

b a
b. ò f(x) dx = - ò f(x) dx c = batas ditukar
a b

a
c. ò f(x) dx = 0 c = batas sama
a

b a b
d. ò f(x) dx = ò f(x) dx + ò f(x) dx c = ( a < c < b)