INTEGRAL

INTEGRAL merupakan kebalikan dari differensial (anti differensial).
Jika turunan dari F(x) adalah f(x), maka :

ò f(x) dx = F(x) + c Þ (c = konstanta)

Integral dapat digolongkan atas :

A. Integral tak tentu (Tanpa batas)
B. Integral tertentu (Dengan batas)

Integral Tak Tentu

1. RUMUS

FUNGSI ALJABAR
ò xn dx = 1/n+1 xn+1 + c ; n ¹ -1

FUNGSI TRIGONOMETRI
ò sin x dx = - cos x + c
ò cos x dx = sin x + c

sifat-sifat:
a. òc f(x) dx = cò² f(x) dx
b. ò( f(x) ± g(x) ) dx = ò f(x) dx ± ò g(x) dx
c. jika òf(x) dx = F(x) + c
maka ò f(ax) dx = 1/a F(ax) + c
ò f(ax+b) dx = 1/a F(ax+b) + c

Perluasan :
ò(ax + b)n dx = 1/a 1/(n+1) (ax + b)n+1 + c
òsin (ax + b) dx = -1/a cos (ax + b) + c
ò cos (ax + b) dx = 1/a sin (ax + b) + c

CARA MENGINTEGRIR

a. SUBSTITUSI

I = ò f(x) dx
substitusi : x = Q(u) ; dx = Q`(u) du
I = òf(Q(u)) Q`(u) du
jika ruas kanan telah diintegrir, subtitusi kembali dengan fungsi invers dari x = Q(u)
(ket : Prinsipnya adalah merubah variabel sehingga rumus dapat digunakan)

b. SUBSTITUSI TRIGONOMETRI

1. Bentuk ò a2 - x2
misalkan x = a sin q ® q = arc sin x/a
dx = a cos q dq


ò – a2 - x2 dx = a ò – 1 - sin2q (a cos q dq)
= a2 òcos2q dq
= ½a2 ò (1 + cos2q) dq
= ½a2 (q + sinq cosq) + c

= ½a2 ò [arc sin x + x –a2 - x2 ] + c
a a a

òÖ a2 - x2 dx = ½ a2 arc sin x/a + ½ x – a2 - x2 + c


2. Bentuk òa2 + b2x2
Gunakan substitusi : x = a/b tgq
dx = a/b sec2q dq

3. Bentuk ò –b2x2 - a2
Gunakan substitusi : x = a/b secq
dx = a/b tgq sec2q


c. PARSIIL

Yaitu mengenai integral dari suatu bentuk yang merupakan hasil perkalian antara suatu fungsi x dengan turunan dari suatu fungsi x yang lain.

I = ò f(x) g(x) dx
Misalkan : u = f(x) ; dv = g(x) dx
du = ..... dx ; v = ò g(x) dx = ..... maka :

ò u du = u v - òv du

Pemisalan dibuat sedemikian sehingga bentuk ò v du jadi lebih mudah
Untuk hal-hal khusus dapat digunakan cara TABULASI

Integral Tertentu

1. Pengertian

Bila suatu fungsi F(x) mempunyai turunan f(x), maka bila f(x) diintegrasikan pada selang (a, b) menjadi
a a
ò c dx = c(x) ï= F(b) - F(a)
b b

2. Sifat

b b
a. ò c dx = c(x) ï = c(b - c) c = konstanta
a a

b a
b. ò f(x) dx = - ò f(x) dx c = batas ditukar
a b

a
c. ò f(x) dx = 0 c = batas sama
a

b a b
d. ò f(x) dx = ò f(x) dx + ò f(x) dx c = ( a < c < b)

LOGARITMA

Jika n adalah logaritma dari a dengan bilangan pokok p, maka berlaku :
plog a = n <---> pn = a
Dengan catatan : a>0, p>0, dan p≠1

Setelah itu, barulah kita mempelajari sifat-sifat logaritma yang bisa kita terapkan di berbagai persoalan.

Sifat-sifat logaritma :
1. plog ( ab ) = plog a + plog b
2. alog an = n
3. plog (a/b) = plog a - plog b
4. plog 1 = 0
5. plog an = n . alog a
6. plog a . alog q = plog q
7. pnlog am = m/n plog a
8. plog p = 1
9. Pplog a = a


Bila bilangan pokok suatu logaritma tidak diberikan, maka maksudnya logaritma tersebut berbilangan pokok = 10.
[log 7 maksudnya 10log 7 ]

lognx adalah cara penulisan untuk (logx)n
Bedakan dengan log xn = n log x

INVERS DETERMINAN

Mencoba memenuhi permintaan dari sobat Bryan untuk posting tentang invers dan determinan matriks, maka pada postingan kali ini akan mencoba membahas sedikit materi yang berkaitan dengan invers dan determinan matriks.

Matriks merupakan susunan bilangan-bilangan berbentuk persegi atau persegi panjang yang diatur menurut baris dan kolom tertentu. Matriks dinotasikan dengan huruf kapital. Jika m adalah banyaknya baris dari matriks A, dan n adalah banyaknya kolom dari matriks A, maka matriks A mempunyai ordo m \times n, atau ditulis A_{m\times n}.

A_{m \times n} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \cdots &\vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}

1. Invers Matriks

Jika A dan B adalah matriks persegi, dan berlaku A \cdot B = B \cdot A = I maka dikatakan matriks A dan B saling invers. B disebut invers dari A, atau ditulis A^{-1}. Matriks yang mempunyai invers disebut invertible atau matriks non singular, sedangkan matriks yang tidak mempunyai invers disebut matriks singular.

Untuk mencari invers matriks persegi berordo 2×2, coba perhatikan berikut ini.
Jika A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} dengan ad - bc \neq 0, maka invers dari matriks A (ditulis A^{-1}) adalah sebagai berikut:

A^{-1} = \frac {1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}

Jika ad - bc = 0 maka matriks tersebut tidak mempunyai invers, atau disebut matriks singular.

Sifat-sifat matriks persegi yang mempunyai invers:

- (A \cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}
- (B \cdot A)^{-1} = A^{-1} \cdot B^{-1}
- (A^{-1})^t =(A^{t})^{-1}

Contoh: Tentukan invers dari matriks berikut!
\begin {array} {lcl} A & = & \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \\ A^{-1} & = & \frac {1}{2 \times 3 - 1 \times 5} \begin{bmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \\ & = & \frac {1}{6-5} \begin{bmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \\ & = & \frac {1}{1} \begin{bmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \\ A^{-1} & = & \begin{bmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}\end{array}
2. Determinan Matriks

Syarat suatu matriks dapat dicari determinannya adalah matriks tersebut harus merupakan matriks persegi. Jika A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}, maka rumus untuk mencari determinan matriks berordo 2×2:

det A = \begin{vmatrix} A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc

Sedangkan untuk mencari determinan matriks berordo 3×3 menggunakan aturan Sarrus.

A_{3 \times 3} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{2n}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}

\begin{vmatrix} A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{2n}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix}

\begin{array} {lcl} \begin{vmatrix} A \end{vmatrix} = && a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} \\ & - & a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} \end{array}

Contoh: Tentukan determinan dari matriks berikut!

A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{bmatrix}

\begin{vmatrix} A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} = 3 \times 2 - 1 \times 5 = 6 - 5 = 1

B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 4\\ 1 & 4 & 3 \end{bmatrix}

\begin{vmatrix} B \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 4\\ 1 & 4 & 3 \end{vmatrix} \begin{matrix} 1 & 2\\ 1 & 3 \\ 1 & 4 \end{matrix}

\begin{array} {lcl} \begin{vmatrix} B \end{vmatrix} & = & 1.3.3 + 2.4.1 + 3.1.4 - 1.3.3 - 4.4.1 - 3.1.2 \\ & = & 9 + 8 + 12 - 9 - 16 - 6 \\ & = & -2 \end{array}